Знання з математики необхідні людині у сучасному світі. Сьогодні неможливо уявити сфери програмування, IT, інженерії, економіки та багато інших галузей без базових, фундаментальних навичок з розв’язування різних рівнянь, розуміння логарифмів та інтегралів. Ці знання закладаються ще у школі, також репетитор з математики онлайн може закрити прогалини у важких темах, адже на уроках дитина не завжди встигає за подачею матеріалу. Хай там як, але вміння розв’язувати логарифмічні рівняння — базова тема, яку потрібно освоїти та розібрати, тому що вона зустрічається і на іспитах, і у подальшому студентському навчанні.
Що таке логарифмічні рівняння?
Коли мова заходить про математику, логарифми та експоненти — два поняття, які чи не найчастіше використовуються у різноманітних розрахунках. Розуміння цих двох величин та їхнього взаємозв’язку є невід’ємною частиною подальшого розв’язання логарифмічних рівнянь алгебраїчним методом. Простими словами можна сказати, що задача логарифма — показати, в яку ступінь треба звести одне число, щоб отримати інше? Мовою математики це виглядає так:
logAB = x, тобто Ax = B
Логарифми широко використовуються у науці, фінансах та програмуванні. Ось лише деякі приклади:
- вимірювання інтенсивності звуку;
- вимірювання інтенсивності землетрусів;
- величини кислотності речовини у хімії;
- витримка діафрагми у фотографії.
Це лише частина напрямків, де логарифми та обчислення на їхній основі використовуються найчастіше.
Про логарифми також можна сказати, що це математичні функції, які є зворотними до операцій зведення у ступінь. Логарифмічні рівняння — це не просто рівняння, в яких використовуються логарифми, а рівняння, в яких змінна невідома X знаходиться виключно всередині логарифму. X найчастіше зустрічається в аргументі логарифма, наприклад:
log2x = log23
Іноді X можуть бути в основі логарифма:
log2x+527 = 3
Найчастіше у шкільних завданнях зустрічаються рівняння з квадратними або лінійними виразами всередині логарифмів. Але насправді вони можуть бути будь-якими: дробовими, тригонометричними.
Алгебраїчний метод розв’язування логарифмічних рівнянь
Саме цей метод залишається загальноприйнятим для розв’язання логарифмічних рівнянь. Простими словами, ця методика зводиться до перетворення рівняння у форму, яка піддається простим алгебраїчним розрахункам. Найчастіше такий підхід використовують, коли у рівнянні є один логарифм. Алгоритм розв’язання наступний:
- Ізолюйте логарифмічний термін. Це можна зробити, переміщуючи нелегарифмічні терміни в одну сторону рівняння, а логарифмічні залишаючи в іншій стороні.
- Використовуйте логарифмічну властивість. Використовуйте лише ту властивість, що має відношення до цього рівняння. Наприклад, якщо рівняння знаходиться у формі (основа a) (x) = b, то логарифмічні властивості рівності використовують до приведення рівняння до форми x = a^b.
- Спрощуйте рівняння. Після кроку 2 треба як можна більше спростити вираз. Наприклад, можна об’єднувати схожі терміни, підключати інші алгебраїчні методи.
- Переконайтесь, що немає інших рішень. Мова йде про рішення, які можуть здавати дійсними, але при підключенні назад у рівняння, вони не дають правильного результату. Таким же чином підходять до розв’язання деяких квадратних рівнянь.
Приклад:
(x-3) + log (x + 1) = log (2x—5)
Використовуючи алгебраїчний метод, ми спрощуємо рівняння до виду (для цього треба спочатку використати логарифмічне множення):
x2 — 2x — 3 = 0
Далі ми розв’язуємо рівняння простою квадратною формулою з отриманням двох результатів:
перший результат x = -1 або 1
другий результат 1x = 3
Але якщо, як і рекомендується за алгоритмом, ми підставимо x = -1 назад у рівняння, то отримаємо неправильну відповідь. Тому 1x = 3 — правильне рішення. Якщо привести його до кінцевого вигляду, то це -х = 3.
Також можна розв’язувати рівняння з кількома логарифмами приводячи його до вигляду з одним логарифмом. Для цього можна комбінувати логарифми (коли у рівнянні є декілька log з однією базою, їх можна об’єднати), використовувати логарифмічні властивості, змінювати основу (для логарифмів з різними основами можна змінити базову формулу, щоб перетворити їх у ту ж основу).
